Majalah Ilmiah UNIKOM

Vol.8, No. 2

187

H a l a m a n

t+Dt

K

(i-1)

adalah matriks kekakuan tangen berdasarkan

solusi yang dihitung pada akhir iterasi (i -1) saat

tahap waktu (beban) t + Dt.

Pada persamaan 3 tersebut, matriks DU

(i)

dicari untuk menghasilkan matriks

t+Dt

U

(i)

dalam persamaan 4. Selanjutnya matriks

t+Dt

U

(i)

digunakan untuk mencari vektor

t+Dt

F

(i-

1)

yang merupakan fungsi dari peralihan.

Umumnya, solusi dari persamaan 3 tidak

akan memenuhi sistem keseimbangan dari

elemen hingga nonlinier, sehingga selalu

ada selisih (residual) antara vektor gaya luar

t+Dt

R dengan vektor tahanan internal

t+Dt

F

(i-

1)

, atau dapat didefinisikan

t+Dt

R –

t+Dt

F

(i-1)

.

residual

maka solusi persamaan 3 dapat diterima

sebagai solusi yang tepat, atau dengan kata

lain kriteria konvergensi telah tercapai.

residual

diulangi lagi hingga nilai residual yang

dihasilkan

sangat

kecil.

Setelah

konvergensi tercapai dalam suatu tahap

pembebanan tertentu yaitu

t

R, maka iterasi

dilakukan

untuk

tahap

pembebanan

berikutnya yaitu

t+Dt

R. Besarnya ukuran

beban yang diberikan dalam setiap tahap

pembebanan berikutnya dapat diatur

seperti Gambar 7.

Menurut Bathe (Bathe, 1982), untuk

memberikan indikator saat peralihan dan

gaya hasil iterasi tersebut mendekati nilai

keseimbangannya,

kriteria

konvergensi

berdasarkan inkremen energi internal setiap

iterasi

dipandang

lebih

bermanfaat

dibandingkan inkremen energi internal saat

kondisi awal. Inkremen energi internal

setiap iterasi merupakan jumlah kerja yang

dilakukan oleh keseimbangan beban luar

dalam inkremen peralihan. Konvergen

diasumsikan tercapai ketika;

||

t+Dt

R –

t+Dt

F

(i)

||

2

≤ e

E

||

t

+Dt

R –

t

F

||

2

….(5)

Kriteria

konvergensi biasanya dinyatakan dalam

bentuk ternormalisir seperti berikut (Bhatti,

2006):

R

i+1

merupakan nilai residu yang diperoleh

dari selisih antara beban eksternal R

E

(=

t+Dt

R dalam persamaan Bathe) dengan tahanan

internal. Konstanta bernilai 1 diberikan se-

bagai denominator untuk mencegah terjad-

inya pembagi nol ketika R

E

bernilai nol. It-

erasi akan selesai bila parameter konver-

gensi bernilai lebih kecil atau sama dengan

toleransi (misal, toleransi = 0.01). Dalam

FEA, penentuan kriteria konvergensi mirip

dengan persamaan 6, dan diberikan dalam

beberapa opsi pilihan, yaitu berdasarkan

energy only, energy and

forceenergy and displacemetforce only

displacement onlydefault

gram menggunakan kriteria konvergensi

energi yang dinyatakan dalam persamaan:

….(7)

Nilai toleransi energi (ETOL) dalam program

dapat ditentukan sesuai tingkat ketelitian

userdefault

ansi energi untuk kriteria konvergensi yang

ditetapkan program adalah sebesar 0.001,

dan jenis batasan toleransi inilah yang

digunakan dalam studi numerik ini.

Secara tidak langsung, hubungan

tegangan-regangan dari model material

nonlinieritas berpengaruh terhadap penen-

tuan matriks kekakuan tangen

t+Dt

K

(i-1)

dan

gaya internal

t+Dt

F

(i-1)

dari persamaan 3 di

atas. Untuk elemen 2D, matriks kekakuan

tangen diformulasikan dengan persamaan

(Cook et all, 2002):

[k

T

] =

….(8)

Keterangan :

strain-displacement

E

ep

= matriks elastis plastis

Dalam setiap iterasi, persamaan (8)

yang digunakan untuk menentukan matriks

ETOL

F

R

U

F

R

U

t

t

t

T

i

t

t

t

t

T

i

)

1

(

)

1

(

)

(

dV

B

E

B

ep

T

]

][

[

]

[

Y. Djoko Setiyarto

j

Ej

n

j

j

E

i

R

R

R

conv

R

i

2

1

2

2

2

1

)

(

1

)

(

1

1

.....(6)