Page 1Page 2Page 3Page 4Page 5Page 6Page 7Page 8Page 9Page 10Page 11Page 12Page 13Page 14Page 15Page 16Page 17Page 18Page 19Page 20Page 21Page 22
Page 7 of 22Majalah Ilmiah UNIKOM
Vol.8, No. 2
187
H a l a m a n
t+Dt
K
(i-1)
adalah matriks kekakuan tangen berdasarkan
solusi yang dihitung pada akhir iterasi (i -1) saat
tahap waktu (beban) t + Dt.
Pada persamaan 3 tersebut, matriks DU
(i)
dicari untuk menghasilkan matriks
t+Dt
U
(i)
dalam persamaan 4. Selanjutnya matriks
t+Dt
U
(i)
digunakan untuk mencari vektor
t+Dt
F
(i-
1)
yang merupakan fungsi dari peralihan.
Umumnya, solusi dari persamaan 3 tidak
akan memenuhi sistem keseimbangan dari
elemen hingga nonlinier, sehingga selalu
ada selisih (residual) antara vektor gaya luar
t+Dt
R dengan vektor tahanan internal
t+Dt
F
(i-
1)
, atau dapat didefinisikan
t+Dt
R –
t+Dt
F
(i-1)
.
residual
maka solusi persamaan 3 dapat diterima
sebagai solusi yang tepat, atau dengan kata
lain kriteria konvergensi telah tercapai.
residual
diulangi lagi hingga nilai residual yang
dihasilkan
sangat
kecil.
Setelah
konvergensi tercapai dalam suatu tahap
pembebanan tertentu yaitu
t
R, maka iterasi
dilakukan
untuk
tahap
pembebanan
berikutnya yaitu
t+Dt
R. Besarnya ukuran
beban yang diberikan dalam setiap tahap
pembebanan berikutnya dapat diatur
seperti Gambar 7.
Menurut Bathe (Bathe, 1982), untuk
memberikan indikator saat peralihan dan
gaya hasil iterasi tersebut mendekati nilai
keseimbangannya,
kriteria
konvergensi
berdasarkan inkremen energi internal setiap
iterasi
dipandang
lebih
bermanfaat
dibandingkan inkremen energi internal saat
kondisi awal. Inkremen energi internal
setiap iterasi merupakan jumlah kerja yang
dilakukan oleh keseimbangan beban luar
dalam inkremen peralihan. Konvergen
diasumsikan tercapai ketika;
||
t+Dt
R –
t+Dt
F
(i)
||
2
≤ e
E
||
t
+Dt
R –
t
F
||
2
….(5)
Kriteria
konvergensi biasanya dinyatakan dalam
bentuk ternormalisir seperti berikut (Bhatti,
2006):
R
i+1
merupakan nilai residu yang diperoleh
dari selisih antara beban eksternal R
E
(=
t+Dt
R dalam persamaan Bathe) dengan tahanan
internal. Konstanta bernilai 1 diberikan se-
bagai denominator untuk mencegah terjad-
inya pembagi nol ketika R
E
bernilai nol. It-
erasi akan selesai bila parameter konver-
gensi bernilai lebih kecil atau sama dengan
toleransi (misal, toleransi = 0.01). Dalam
FEA, penentuan kriteria konvergensi mirip
dengan persamaan 6, dan diberikan dalam
beberapa opsi pilihan, yaitu berdasarkan
energy only, energy and
forceenergy and displacemetforce only
displacement onlydefault
gram menggunakan kriteria konvergensi
energi yang dinyatakan dalam persamaan:
….(7)
Nilai toleransi energi (ETOL) dalam program
dapat ditentukan sesuai tingkat ketelitian
userdefault
ansi energi untuk kriteria konvergensi yang
ditetapkan program adalah sebesar 0.001,
dan jenis batasan toleransi inilah yang
digunakan dalam studi numerik ini.
Secara tidak langsung, hubungan
tegangan-regangan dari model material
nonlinieritas berpengaruh terhadap penen-
tuan matriks kekakuan tangen
t+Dt
K
(i-1)
dan
gaya internal
t+Dt
F
(i-1)
dari persamaan 3 di
atas. Untuk elemen 2D, matriks kekakuan
tangen diformulasikan dengan persamaan
(Cook et all, 2002):
[k
T
] =
….(8)
Keterangan :
strain-displacement
E
ep
= matriks elastis plastis
Dalam setiap iterasi, persamaan (8)
yang digunakan untuk menentukan matriks
ETOL
F
R
U
F
R
U
t
t
t
T
i
t
t
t
t
T
i
)
1
(
)
1
(
)
(
dV
B
E
B
ep
T
]
][
[
]
[
Y. Djoko Setiyarto
j
Ej
n
j
j
E
i
R
R
R
conv
R
i
2
1
2
2
2
1
)
(
1
)
(
1
1
.....(6)